モナドメモ - 圏論におけるモナドの定義

圏(Category)

圏Cは以下のものにより構成される．

• 対象のあつまりObj(C)
• 射のあつまりArr(C)
• 各々の射fについて，dom(f), cod(f)という対象が定義されている．dom(f) = A, cod(f) = B であるような射fをf : A → Bとも記述する．
• 任意のf : A → B, g : B → Cに対し g.f : A → Cが定義される
• 各対象Aに対し，id_A : A → Aなる恒等射が存在．任意のf: A → Bに対し，id_B.f = f, f . id_A = fとなる

関手(Functor)

CとDとを関手とする．Cの対象AにDの対象F Aを割当て，Cの射 f : A → BにDの射 F f: F A → F Bを割当てる写像Fで以下の条件をみたすものを関手という．

• Cの任意の射f : A → B,g : B → Cに対し，F (g.f) = F g . F f．ここで，射の合成の意味がCとDで変化してよいことに注意
• Cの任意の対象Aに対し，F id_A = id_{F A}

自然変換(Natural Transformation)

関手F,G: C → Dを考える．Cの各対象Aに対し，Dの射μ_A: F A → G Aを割当て，Cの任意の射f: A → Bに対してG f. μ_A = μ_B . F fが成り立つような割当てをFからGへの自然変換という．

モナド

圏C上のモナドとは，次の性質を満たす3つ組(T, η, μ )である．

• T : C → Cな関手
• ηは，I からTへの自然変換(Iは恒等関手)
• μはT²からTへの自然変換
• μ_A . μ_{T A} = μ_A . T μ_A
• μ_A . η_{T A} = id_{T A}
• μ_A . T η_A = id_{T A}

Kleisli Triple

圏C上のKeisli Tripleとは，次の性質を満たす3つ組(T, η, _^*)である．

• T : Obj(C) → Obj(C)である写像
• η_A : A → T A という射
• f : A → T B に対しf^* : T A → T B
• η_A^* = id_{T A}
• f^* . η_A = f
• g^* . f^* = ( g^* . f )^*

Kleisli圏

圏C上のKleisli Triple(T, η, _^*)に対して，以下のように構成することで圏Dをつくることができる．

• Dの対象はCの対象と同じ
• Dの射f : A → B は，Cの射 f : A → T B
• Dでの射の合成 g.f は，Cにおける g^*.f
• Dでの恒等射 id_AはCでの η_A